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Análisis Matemático 66
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PALACIOS PUEBLA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA
4.
b) Hallar los valores de $a$ y $b \in \mathbb{R}$ para que la función $f(x)= \begin{cases}\operatorname{sen}(x) & x<\pi \\ a x+b & x \geq \pi\end{cases}$ sea derivable en $x=\pi$.
b) Hallar los valores de $a$ y $b \in \mathbb{R}$ para que la función $f(x)= \begin{cases}\operatorname{sen}(x) & x<\pi \\ a x+b & x \geq \pi\end{cases}$ sea derivable en $x=\pi$.
Respuesta
Para que nuestra función $f$ tenga alguna chance de ser derivable en $x=\pi$, lo primero que tiene que ocurrir es que sea continua en ese punto. Entonces, arranquemos pidiendo que sea continua y veamos si de ahí sale alguna condición para $a$ o para $b$.
Reportar problema
Continuidad en $x=\pi$
1) $f(\pi) = a\pi + b$
2) Tomamos límites cuando $x$ tiende a $\pi$
$\lim_{x \to \pi^+} ax + b = a\pi + b$
$\lim_{x \to \pi^+} \sin(x) = 0$
Entonces, para que nuestra función sea continua en $x = \pi$ se tiene que cumplir que
$a\pi + b = 0$
$b = -a\pi$
Es decir, para que $f$ sea continua en $x= \pi$, se tiene que cumplir esta relación entre $a$ y $b$, nuestra función nos quedaría así:
$f(x)= \begin{cases}\operatorname{sen}(x) & x<\pi \\ a x - a\pi & x \geq \pi\end{cases}$
Derivabilidad
Como queremos estudiar derivabilidad en $x=\pi$, que es justo donde la función se parte, lo hacemos mediante el cociente incremental:
\( f'(\pi) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(\pi + h) - f(\pi)}{h} \)
Aclaración súper importante porque se que un montón se confunden en esto: $h$ siempre tiende a cero, no vayan a poner que $h$ tiende a $\pi$ eh, atención con eso! 😉
Abrimos por derecha y por izquierda:
$\lim_{{h \to 0^+}} \frac{a(\pi + h) -a\pi - 0}{h} = \lim_{{h \to 0^+}} \frac{a \pi +ah -a\pi}{h} = \lim_{{h \to 0^+}} \frac{ah}{h} = a$
$\lim_{{h \to 0^-}} \frac{ \sin(\pi+h) -0 }{h} $
Estamos a muuuuy poco de poder salvar esta indeterminación "cero sobre cero" con L'Hopital. Acá te muestro como lo podés pensar sin L'Hopital (pero en el parcial seguramente lo salves así y no como yo te voy a mostrar ahora jaja)
Para eso hay que acordarse del comportamiento de $\sin(x)$ (si, pensá en la circunferencia jaja) y si hacemos \( \sin(\pi + h) = -\sin(h) \). Si no lo ves, tranqui, este límite en este parcial ya lo salvarías con L'Hopital.
$\lim_{{h \to 0^-}} \frac{ \sin(\pi+h) -0 }{h} = \lim_{{h \to 0^-}} \frac{ -\sin(h) }{h} = -1$
Ahora, para que el límite exista los límites laterales tienen que coincidir, es decir
$a = -1$
y recordando la relación:
$b = -a\pi = -(-1)\pi$
$b = \pi$
Por lo tanto, si $a=-1$ y $b= \pi$, $f$ resulta derivable en $x=\pi$.