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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA

Práctica 5 - Aproximación lineal y derivadas

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4.
b) Hallar los valores de aa y b∈Rb \in \mathbb{R} para que la función f(x)={sen⁡(x)x<πax+bx≥πf(x)= \begin{cases}\operatorname{sen}(x) & x<\pi \\ a x+b & x \geq \pi\end{cases} sea derivable en x=πx=\pi.

Respuesta

Para que nuestra función ff tenga alguna chance de ser derivable en x=πx=\pi, lo primero que tiene que ocurrir es que sea continua en ese punto. Entonces, arranquemos pidiendo que sea continua y veamos si de ahí sale alguna condición para aa o para bb.

Continuidad en x=πx=\pi

1) f(π)=aπ+bf(\pi) = a\pi + b

2) Tomamos límites cuando xx tiende a π\pi

lim⁡x→π+ax+b=aπ+b\lim_{x \to \pi^+} ax + b = a\pi + b

lim⁡x→π+sin⁡(x)=0\lim_{x \to \pi^+} \sin(x) = 0 

Entonces, para que nuestra función sea continua en x=πx = \pi se tiene que cumplir que

aπ+b=0a\pi + b = 0

b=−aπb = -a\pi

Es decir, para que ff sea continua en x=πx= \pi, se tiene que cumplir esta relación entre aa y bb, nuestra función nos quedaría así:

f(x)={sen⁡(x)x<πax−aπx≥πf(x)= \begin{cases}\operatorname{sen}(x) & x<\pi \\ a x - a\pi & x \geq \pi\end{cases}

Derivabilidad

Como queremos estudiar derivabilidad en x=πx=\pi, que es justo donde la función se parte, lo hacemos mediante el cociente incremental:

f′(π)=lim⁡h→0f(π+h)−f(π)h f'(\pi) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(\pi + h) - f(\pi)}{h}

Aclaración súper importante porque se que un montón se confunden en esto: hh siempre tiende a cero, no vayan a poner que hh tiende a π\pi eh, atención con eso! 😉

Abrimos por derecha y por izquierda:

lim⁡h→0+a(π+h)−aπ−0h= lim⁡h→0+aπ+ah−aπh= lim⁡h→0+ahh=a\lim_{{h \to 0^+}} \frac{a(\pi + h) -a\pi - 0}{h} = \lim_{{h \to 0^+}} \frac{a \pi +ah -a\pi}{h} = \lim_{{h \to 0^+}} \frac{ah}{h} = a

lim⁡h→0−  sin⁡(π+h)−0  h\lim_{{h \to 0^-}} \frac{  \sin(\pi+h) -0   }{h}

Estamos a muuuuy poco de poder salvar esta indeterminación "cero sobre cero" con L'Hopital. Acá te muestro como lo podés pensar sin L'Hopital (pero en el parcial seguramente lo salves así y no como yo te voy a mostrar ahora jaja)

Para eso hay que acordarse del comportamiento de sin⁡(x)\sin(x) (si, pensá en la circunferencia jaja) y si hacemos sin⁡(π+h)=−sin⁡(h) \sin(\pi + h) = -\sin(h) . Si no lo ves, tranqui, este límite en este parcial ya lo salvarías con L'Hopital. 

lim⁡h→0−  sin⁡(π+h)−0  h= lim⁡h→0−  −sin⁡(h)h=−1\lim_{{h \to 0^-}} \frac{  \sin(\pi+h) -0   }{h} = \lim_{{h \to 0^-}} \frac{  -\sin(h) }{h} = -1

Ahora, para que el límite exista los límites laterales tienen que coincidir, es decir

a=−1a = -1

y recordando la relación:

b=−aπ=−(−1)πb = -a\pi = -(-1)\pi

b=πb = \pi

Por lo tanto, si a=−1a=-1 y b=πb= \pi, ff resulta derivable en x=πx=\pi.
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